karashi39とはいったい

夢と希望と明日と正義を讃える

y^2をxで微分するやつ

10年以上ぶりに微分を勉強しようと思って*1教科書を開いたら、最初の式ですぐにつまづいたので、YOUTUBEで学んだことをメモします。

これを読んで思い出せ

 y^{2} x微分する。つまり、

 \begin{align}
 y^{2} \rightarrow \frac{d}{dx} y^{2}
\end{align} \tag{1}

こういう表記になることは、10年たっても覚えていたので、きっと当時承知したことなんだろうと思い、説明は省略。
思い出そうと思って実は理解してないとかだったら別途調べようと思います。

ここで突然  \frac{dy}{dy}をかけてしまう。つまり、

 \begin{align}
 \frac{d}{dx} y^{2} = \frac{dy}{dy} \frac{d}{dx} y^{2} \\
 =  \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy} y^{2}
\end{align} \tag{2}

 1をかけているように見えるけど、 dなんちゃらは分数じゃないと口を酸っぱくして教えられた記憶だけはあるので、こんなことをしていいのかは不明だけど、10年前は承知してやっていたことなので以下同文。

すると、 \frac{d}{dy}y^{2}は単純に y^{2} y微分するだけなんだから、

 \begin{align}
 \frac{d}{dy}y^{2} = 2y
\end{align} \tag{3}

この式をさっきの(2)のところに当てはめると

 \begin{align}
 \frac{d}{dx} y^{2} = \frac{dy}{dy} \frac{d}{dx} y^{2} \\
 =  \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy} y^{2} \\
 =  \frac{dy}{dx} 2y
\end{align} \tag{4}

残った部分、  \frac{dy}{dx} \frac{d}{dx}y と変形できると10年前(ry なので、つまりこれは y x微分したもの。
つまり、 y'のことだ。というわけで

 \begin{align}
  \frac{dy}{dx} = y'
\end{align} \tag{5}

これを(4)にあてはめると、

 \begin{align}
\frac{d}{dx} y^{2}  = \frac{dy}{dx} 2y \\
 = y' 2y  \\
 = 2yy'
\end{align} \tag{6}

このことを踏まえて(1)を見てみると、

 \begin{align}
 y^{2} \rightarrow 2yy'
\end{align} \tag{7}

こうして、 y^{2} x微分すると 2yy'になるということが自分の中では納得できたのだった。

ここで

美しい都内某所の堰の写真を見て、心を落ち着けてください。みなさんはまだ納得いっていないことがいくらでもあるでしょうが、私はないし、みなさんも流れる水の音を聞けば、おだやかな気持ちになれるでしょう。

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おことわり

  • そもそも y x微分するという話が大前提なので、yがxの従属関数じゃないといかん。
  • この記事は完全に自分カスタマイズになっているので、???となる人がいても文句を言わずもっと良い記事を書いてほしい。
    • というのも知恵袋の説明が自分には???だった*2ので、これを書くに至ったという経緯があります。
  • ところで、だれかイコール揃えにする方法を教えてください。
  • 数学の人々はこういう式を説明をネットに乗っけるとボコって来るという話を聞きましたが、そんなことはないと信じています*3

最後に

今回、 xの従属関数であるところの y x微分する方法について勉強し直したんですが、似たような言葉に従属変数って言葉が(たぶん)ありますよね。 ほとんど、具体的には漢字の割合にして75%、が下ネタだと思ってます。ダジャレではないのですが、ご査収ください。


*1:特に目的のない、気が向いたからやって見た感じのやつです。ボコらないでほしい。

*2:説明の流れなのかもしれないけど、「え?それはルール上やっちゃいけないことじゃないの?」と思わせるような説明が気になりすぎて序盤でだいぶ目が滑り出していたためです。実際のところは、私はわかんないけど、ちゃんとした説明だったんでしょう。あしからず。

*3:何事もアウトサイダーとしてブログ記事を書いたりしていると、常に「たのむからボコらないでください」という気持ちをもってキーボードを叩くことになります。