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記憶力が弱い人向け、解の公式の覚え方

今更感しかないですが、解の公式です。記憶力がない暗記をしたくない人向け*1の覚え方です。

意味わかんない文字の羅列を覚えるのは無理なので、導出を理解することでなんとかします。やってみるとわかりますが、導出自体は基本的な事しかしていないですし、暗記が苦手な人はこういうのを理解するのは得意なのでなんとかなるでしょう*2

導出を理解する

まずは二次方程式の基本形。これを覚えることはギリギリできそうです。あと、先に断っておきますが、最初の(1)の式以外は覚えようとしたらダメです。記憶力のないやつが記憶を頑張ろうとした時、生産性は皆無となります。

{ax^{2} + bx + c = 0 \tag{1}}

両辺を同じ定数で割っても、両辺の関係は変わらない(イコールで結ばれたままな)ので、 {a}で割っちゃいます。

{ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0  \tag{2}}

ここで、  {(x+A)^{2}} みたいな形に持っていきたいです。ということは、 { x^{2} + 2A x + A^{2}}の形に無理やりする必要があります。 まず、  {\frac{b}{a} x}{2Ax} の形にして見易くしたいので、そこの部分だけ分子と分母に {2}をかけましょう。 {\frac{1}{1}} {\frac{2}{2}}にするだけですので、やっちゃって良い処理です。

{ x^{2} + \frac{2b}{2a} x + \frac{c}{a} = 0  \tag{3}}

さらに、 {2Ax} の形に近づけるため、分子の2は前の方に出しちゃいます。

{ x^{2} + 2(\frac{b}{2a}) x + \frac{c}{a} = 0  \tag{4}}

さらに、  {A^{2}} を加えて理想的な形にしたいのですが、この場合  {A} に相当するのは  {(\frac{b}{2a})}なので、その2乗である  {(\frac{b}{2a})^{2}}を登場させます。定数ではありますが、勝手に式に何かを加えてはダメなので、両辺に同じ値を加えて、つじつまを合わせます。

{ x^{2} + 2(\frac{b}{2a}) x + \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^{2} = (\frac{b}{2a})^{2}  \tag{5}}

 { x^{2} + 2A x + A^{2}} の形を強調するために並べ替えちゃいましょう。

{ x^{2} + 2(\frac{b}{2a}) x  + (\frac{b}{2a})^{2} + \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^{2}  \tag{6}}

ここまできたら、  { x^{2} + 2A x + A^{2} = (x+A)^{2}} を使えます。

{ (x + \frac{b}{2a})^{2} +  \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^{2}  \tag{7}}

ルートをとって、 {x = hoge}のように解を出したいので、  {x} のついていない、定数部分をイコールの向こう側へ移動させます。移動したやつはプラスとマイナスが逆になりますよね。これは、本当はプラマイが逆の同じ値を両辺に加えているからですね。

{ (x + \frac{b}{2a})^{2}   = (\frac{b}{2a})^{2}  - \frac{c}{a} \tag{8}}

定数はもう全部展開したり通分したりして整理してしまいます。

{ (x + \frac{b}{2a})^{2}   = \frac{b^{2}}{4a^{2}}  - \frac{c}{a} \tag{9}}

{ (x + \frac{b}{2a})^{2}   = \frac{b^{2}}{4a^{2}}  - \frac{4ac}{4a^{2}} \tag{10}}

{ (x + \frac{b}{2a})^{2}   = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} \tag{11}}

ここまできたら、平方根を求めることが出来ます。  x^{2} = hoge {x^{2}}{x} にしたら、定数の方は {±\sqrt{hoge}} です。

{ x + \frac{b}{2a}  = ±\sqrt{\frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}} \tag{12}}

 {x}を一個だけにすることが出来ました。あとは整理すれば、解の公式の導出完了です。 ルートの中の分数は、分子と分母を区別してルートから出しちゃって大丈夫です。

{ x + \frac{b}{2a}  = \frac{±\sqrt{b^{2} - 4ac}}{\sqrt{4a^{2}}} \tag{13} }

{ x + \frac{b}{2a}  = \frac{±\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \tag{14} }

さらに、  {x} がついてない項はイコールの向こう側であるところの右辺へ。なんだか分母が一緒なので、まとめることもできます。

{ x = - \frac{b}{2a}  \frac{±\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \tag{15} }

{ x = \frac{-b ±\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \tag{16} }

いつの間にか解の公式になってます。ここまで16ステップ。式が多すぎて覚えられないとかって思うかもしれませんが、それでは同じ過ちの繰り返しです。そもそも暗記が苦手なので、最初の式だけを覚えて、あとは実力で毎回この問題を解けば良いわけです。

まとめ

ポイントだけ抑えた式の変形を抜き出すと、下のようにまとまります。

2次方程式の基本形

{ax^{2} + bx + c = 0 \tag{1}}

 (x + A)^{2} にしちゃう

{ x^{2} + 2(\frac{b}{2a}) x + \frac{c}{a} = 0  \tag{4}}

{ x^{2} + 2(\frac{b}{2a}) x  + (\frac{b}{2a})^{2} + \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^{2}  \tag{6}}

{ (x + \frac{b}{2a})^{2} +  \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^{2}  \tag{7}}

平方根を求める

{ (x + \frac{b}{2a})^{2}   = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} \tag{11}}

{ x + \frac{b}{2a}  = ±\sqrt{\frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}} \tag{12}}

{ x = \frac{-b ±\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \tag{16} }

これでも多いですね。いや、多いとか少ないじゃないんだよ。やってることは基本的な式の変形なので、流れを理解すれば、いつでも解の公式を導出できます。一回理解しておけば、だいたい3分あれば導出できるし、さんざん導出したら公式も覚えているかもしれない。

なお

特に、  {(x+A)^{2}} に持ってきたこの流れを平方完成と言うらしいんですが、平方完成、略して平成です*3


*1:つまり自分向け

*2:逆に言うと、理解がちょっと厳しい人は絶対記憶力がある人なので、頑張って暗記してくれ

*3:これが言いたくてこの記事を書きました